세번째 질문(라플라스 변환과 푸리에 변환의 차이)에 대해서....

푸리에 변환 ->

시간에 따라 변하는 신호 x(t) (t = -무한대 에서 + 무한대 까지)를 주파수 f 또는 w = 2ㅠf 성분으로 분석하기 위해 변환하는 방식이지요.
푸리에 변환을 F[x(t)] = X(w) 로 표현하면 아래와 같습니다
F[x(t)] = 적분[x(t)e^(-jwt)] dt (적분 범위 -무한대 에서 +무한대까지)

여기서 e^(-jwt) = cos(wt) - j sin(wt) 로 크기는 변환 결과는 주파수 w 의 함수로 나타납니다. 시간 함수를 주파수 함수로 변환하여 해석을 하기 위한 목적으로 널리 이용됩니다

라플라스 변환 ->

푸리에 변환과 유사하게 시간함수를 주파수 함수로 변환하지만,
시간 범위가 0 에서 +무한대까지로 제한하여 초기 조건을 간단히 하고, 적분 결과가 무한대로 발산하는 것을 방지하고 적분가능성을 전제조건으로 부여하기 위해 원래 신호에 e^(-at) 함수(a는 실수)를 곱하여 푸리에 변환을 한 것과 동일하다고 볼 수 있습니다

라프라스 변환을 L[x(t)] 라고 나타내면

L[x(t)] = 적분[x(t) e^(-at) e^(-jwt)] dt (적분범위 0 에서 +무한대)

여기서 e^(-at) e^(-jwt) = e^(- st)  단, s=a+jw 로 복소수가 됩니다

라플라스 변환은 시간범위 (0 에서 +무한대) 의 시간에 따라 변하는 신호를 복소수 s 의 함수로 변환하는 것이지요. 변환결과를 X(s)로 하면

L[x(t)] = X(s) = 적분[x(t) e^(-st)] dt (적분 범위: 0 에서 +무한대)

  BS low - rtaionality high! Really good answer!