초등학교 2학년 교과서 내용중, 원에 관한 내용

글쓴이
조선인
등록일
2013-04-23 01:42
조회
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댓글
28건
"원이 되기 위해서는 어느 방향에서 보아도 같은 모양이어야 합니다."로 기재되어 있습니다.
그런데 제생각에는 이것이 오류라고 생각되어 다음과 같이 교과서 민원관련 사이트에 제기하였는데...
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만약 원이 그려진 종이를 기울여서 보거나, 원이 그려진 종이를 그대로 놓고 사람의 눈높이를 바꾸어서 사선에서 볼 경우 타원 모양으로 보일 수도 있으며 따라서 이같이 "어느 방향에서 보아도" "같은 모양"이 되지는 않기 때문입니다.
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답변은 아래와 같습니다.
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말씀하신 문제의 '어느 방향'의 의미는 종이를 기울이거나 눈높이를 바꾸어서 보는 것을 말하는 것이 아니고 원을 기준으로 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽을 의미하는 설명입니다.
이후 설명(타원)은 위에서 본 모양과 옆에서 본 모양이 다르고...와 같은 예)과 함께 읽어 보신다면 그 의미의 맥락이 자연스러움을 알 수 있으시리라 생각됩니다.
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제가 잘못된건가요?

제생각에는 아이들의 사고력을 왜 2차원 내에서 제한하는지 모르겠습니다....

  • 통나무 ()

      이 문제는 철학의 문제 같은데요.
    럿셀의 철학의 문제들이라는 책 1장에 이런 얘기들이 나옵니다.

  • dk ()

      굉장히 모호한 설명에 모호한 답변이네요

  • -_-; ()

      원의 정의를 찾아보세요... 사고가 문제가 아니고 무엇이 원인가 하는 정의를 먼저 알아야 합니다. 그 수학적 정의를 아이들이 알기 쉬우라고 설명해 놓은 것이 교과서의 내용입니다.

  • 반지원정대 ()

      원이라는 게 평면으로 전제되어 있는 2차원 개념같은데요. 따라서 개념 설명도 2차원으로 설명되어져야 합니다. "평면위의 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 곡선"으로 개념되어 있네요.

    문제제기한 "어느 방향에서 보아도 같은 모양이어야 합니다"라는 설명은 초등학생용 개념설명같은데, 한국어는 토시하나에 의미가 확 바뀌어서 발생한 오류같습니다. "어느 방향에서"를 "어느 방향으로" 바꾸면 기준점(원의중심)이 있다는 의미가 있어서 해결될 것 같네요.

  • 세아 ()

      초등학교 저학년을 대상으로 하는 것이기 때문에 정의가 명확할 필요는 전혀 없어 보입니다. 읽고서 느낌만 오면 충분하겠지요.

    물론 조선인님 말씀처럼 아이들의 사고력을 2차원 내에서 제약할 필요는 전혀 없습니다. 그리고 말씀하신 것처럼 생각하는 아이들도 분명히 있겠지요.

    문제는... 조선인님과 같은 질문을 하는 아이에게 어떻게 답변해 줄 것인가 하는 겁니다. 그것이 더 중요하지요.

    말씀하신 것처럼 비스듬히 보면 타원처럼 보일 것인데, 그 상태로 종이를 빙빙 돌려도 타원처럼 보일 겁니다. 여타 다른 도형과는 매우 다른 성질이지요. 정사각형 같은 것은 비스듬히 돌려서 보면 마름모도 되었다가 직사각형도 되었다가 그렇게 변하잖아요. 물론 비스듬히 보는 각도를 변화하면 타원 자체도 덜 찌그러진 타원이었다가 더 찌그러진 타원이었다가 이렇게 변하겠지만... 이런 경우에는 아이에게 비교를 하려면 무언가 고정된 기준이 있어야 한다는 것을 이런 저런 예를 들어가며 납득시키면 될 겁니다.

    그러니... 아이가 저런 질문을 하면 그래? 어디 한 번 돌려가며 봐 볼까? 정사각형도 그려서 비스듬히 보면서 돌려볼까? 라는 식으로 실제로 실험도 해 보며 "어느 방향에서 보아도 같은 모양"처럼 보인다는 것이 무슨 뜻인지를 느끼게(!) 해 주면 될 겁니다. 아마 이 정도 수준에서 대개의 아이들은 스스로 만족하고 그만 둘 겁니다. 혹시 더 궁금해 하는 아이들이 있다면, 3차원에서 원을 그려 놓고 완전히 옆에서 보면 어떤 모양이 생기는지를 상상해 보자고 할 수도 있겠지요. 할 수 있는 이야기는 무궁무진합니다.

    안타까운 것은... 아마도 우리나라 학교나 학원에서는... "그렇게 보면 안되는 거야"는 정답만 알려주고 끝내겠지만요. 언제나 그렇듯이 교재가 문제인 건 아니잖아요. 가르치는 사람이 문제지.

  • 조선인 ()

      세아님의 초등학교 저학년 수준으로 이해할 수 있는 설명에 감사합니다. 
    그런데 제가 문제를 제기한 이유는 초등학생의 교과서 문제 정답에 그렇게 적혀 있기 때문이지요.  즉 교재에서 답의 범위를 2차원적으로 제한하였기 때문입니다.  따라서 3차원으로 생각한 답은 오답처리가 되구요.  실제 아이들의 문제집에도 그렇게 되어 있습니다. 

  • 세아 ()

      그건 어쩔 수 없는 듯 합니다. 문제집이니까요. 문제가 있으면 답이 하나여야 한다는 것이 오랜 세월 동안 내려오는... 학습의 규칙이니까요.

    그러니... 상상의 나래는 한껏 펼치게 하되... 그 수렴점은 교과서의 정답이 되도록 하는 것이... 좋은 성적을 받게 되는 비결이 아닐까합니다.

    원 문제의 경우에도 한껏 상상을 펼치게 한 뒤... 그러니까 어디에서 보더라도 똑같이 생긴 것을 원이라고 하는거야는 식으로 한 마디 덧붙여 끝내면 되겠지요. "어디에서 보더라도"에는 수많은 가정이 덕지덕지 붙어 있는 문장이겠지만... 이런 저런 다양한 상상을 해보고 실험을 해 본 아이라면 어디에서 보더라도 똑같이 생겼다는 것이 무엇인지 느낄 수 있지 않겠습니까? "어디에서 보더라도"라는 문장에 붙여 있는 전제 조건들에 대해서도 나름 희미하게나마 느낄 것이고요.

  • 반지원정대 ()

      초등학교 저학년이라도 정의는 명확해야 합니다. 잘못된 걸 가르쳐줄 수는 없어요. 평면상에 도형을 그렸을 때 어느 방향에서 보아도 같은 모양을 가진 도형은 없습니다.

  • 세아 ()

      평면에 사는 사람이 평면에 놓인 도형을 본다면, 그 도형의 한쪽 단면만을 보게 됩니다. 마치 우리가 공간에 놓인 물체의 한 쪽 면만 보는 것과 같습니다. 원과 같이 어느 방향에서 보더라도 너비가 일정한 도형들은 어느 "방향에서" 보아도 같은 길이의 직선으로 보입니다. 오히려 평면에서 보았을 때 원과 같이 닫힌 도형의 내부에서 어느 "방향으로" 보더라도 결국 보이는 것은 자기를 완전히 둘러싼 검은 선들 뿐입니다.

    결국 "거리"라는 것을 도입하지 않으면, 어떤 정의든 다 틀린 정의입니다. "한 점으로부터 거리가 같은 평면 위의 점들의 모임"과 같이 딱딱한 정의는 가르치지 않는다는 것이 요즘 수학 교육의 흐름인 듯 합니다. 몇 십년 지나면 또 바뀌겠지만요. 지금 껏 그래왔듯이.

    중요한 것은... 적어도 초등학교 저학년 수준에서는 내용 하나 더 가르치기 보다 수학을 배우면서 생각하는 힘을 길러주는 것이 더 중요하겠지요.

  • 반지원정대 ()

      "평면에 사는 사람" "평면에 놓인 도형" 이란 말이 무슨 말인지 모르겠어요. 점/선/면의 이차원에서 단면이라는 말이 왜 나오는지도 모르겠어요. 2차원 얘깃거리에 3차원을 섞어서 말씀하시면 이해할수 없게됩니다.

    초등학교 저학년 수준의 개념설명은 상상력의  산물이 아니라 고등수준의 개념을 쉽게 풀이한 것일 뿐이에요. 그것이 쉽다뿐이지 틀리면 안되는 것이에요.

    "평면위의 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 곡선" 이 개념을 쉽게 풀이한 것이 초등학교 교과서에 실린 것이에요. 그것은 관찰자의 위치/시점/기준점/원의중심이 1개 있다는  것이고, 그곳에서 방향을 달리하여 보아도 모양이 같다는 설명이었어요. 따라서 "어느 방향에서 보아도"라는 말처럼 관찰자의 위치/시점/기준점이 여러곳으로 개념지어놓으면 잘못된 개념설명이라는 것이에요. 심지어 같은 방향이라도 거리에 따라 크기가 달라져서 모양이 다른 것이에요. 어느 방향에서 보아도 같은 모양을 가진 도형은 없습니다.

  • 통나무 ()

      초등 중등 고등에서 목표로 하는게 조금 다르더군요.
    물론 개개인의 차이가 있기에 저런 의문이 있다면 따로 깊게 얘기해주면 좋겠지만요.

  • -_-; ()

      3차원에 원을 그리고 이리저리 돌리다보면 빠른 아이들은 그게 공모양이 되어 버린다는 것을 느낄 겁니다. 그건 더 이상 원이 아니지요... 어쨌든 원을 가르치는데 구를 상상하여 버린다면 다시 원은 평면이고 구는 공간임을 가르쳐야 합니다. 결국 다시 정의를 가르치게 됩니다. 아니면 더 잘 가르치는 방법이 있겠지요.. 어쨌든 결국은 국어도 같이 배워야 한다는 얘기네요.. 위 교과서는 아래 연결된 내용으로 타원이 나온다고 하네요.. 생각해 보세요.. 원과 타원을 그려놓고 둘을 구분하는 간단한 방법을 말입니다. 원은 사방, 아래, 위, 좌, 우를 보아도 똑같이 같은 각도로 동그스름합니다. 타원은 아니지요.. 어떤데는 좀 덜 동그스름하고 어떤데는 더 동그스름하지요.. 그것이 타원입니다. 교과서는 그것을 말하고 있는 것 같습니다. 종이를 들고 이리저리 돌려 보는 것과는 또 다릅니다. 종이를 들고 이리저리 보는 것은 TV속 상자안에 뭐가 들었는지 보려고 의자 위에 올라가는 일과 같은 것입니다.

  • -_-; ()

      아이가 국어를 이해하지 못하고 어려워한다면 저는 반투명한 종이 두 세장에 원과 타원을 그려놓고 가운데를 찍어서 고정한 후 겹쳐서 돌려가면서 보여주겠습니다. 원은 아무리 돌려도 똑같지만 타원은 돌리면 겹쳐지지 않지요..

  • 반지원정대 ()

      수학에서 도형이라하면 점,선,면 그리고 물체까지 포함한다고 하네요. 어느 방향에서 보아도 같은 모양을 가진 도형은 없다고 위에서 말했는데 제가 잘못말한 것 같습니다. 구의 경우는 어느 방향에서 보아도 같은 모양입니다.
    평면위에 그려진 2차원에 한정했을 때, 어느 방향에서 보아도 같은 모양을 가진 도형은 없다라고 말할수 있겠네요.

  • 통나무 ()

      배운상태에서 보는것과 처음 접하는것과는 다를텐데요.
    저 학년에서 원이란 그냥 직관적으로 알고 가면 될 상태같은데요.

    그 이상은 도움이 안될것 같습니다.

  • 반지원정대 ()

      아이가 배우고 못배우고의 문제가 아니라, 가르치는 사람의 문제에요. 가르치는 사람에게도 윤리가 있는 겁니다. 잘못된 걸 가르칠 수는 없는 거에요.
    직관적으로 아이에게 원을 그려놓고 그것을 관찰해보라고할 때, 가장 자연스러운 관찰자세는 비스듬히 보는 방향이에요. 그런데 교육자는 모든 방향에서 관찰할 때 모양이 같은 게 원이라고 말하고 있습니다.

  • 통나무 ()

      이런 책도 도움이 되겠죠.

    이상한 나라의 사각형
    <a href=http://www.aladin.co.kr/shop/wproduct.aspx?ISBN=8972826456 target=_blank>http://www.aladin.co.kr/shop/wproduct.aspx?ISBN=8972826456</a>

  • -_-; ()

      반지원정대님 교과서를 학교에서 가르칠 때 가장 자연스러운 관찰자세는 선생님이 칠판에 원을 그리고 학생들이 칠판을 보는 자세지요.. 그렇게 칠판에 원을 그려놓은 상태에서 사방에서 화살표를 원을 향해 긋는다고 생각해 보세요.. 자 얘들아 여기서 봐도 여기서 봐도 여기서 봐도 원은 똑같이 동그랗지.. 타원은 아니지.. 이렇게 가는 것 같습니다. 그런데 왜 사람들이 왈가왈부하느냐는 쉽게 말해 이건 님께서도 지적하신대로 국어의 문제란 겁니다.

  • 반지원정대 ()

      '원'이라는 2차원 개념을 저학년 아이들에게 쉽게 받아들여질 수 있는 3차원 어법으로 소개하는 것은 좋은데, 그렇다하여도 오류가 있으면 안되는 것입니다. 단순히 원을 관찰하는 문제가 아니라, 원의 개념을 규정하는 문제이기 때문입니다.

    한 점에서 일정한 거리를 가지는 점들의 특성이 3차원에서는 한 점에서 방향을 달리하여 보아도 모양이 같게 나타나게되는데, 이것을 정리하면 "원이 되기 위해서는 중심점에서 어느 방향으로 보아도 같은 모양이어야 합니다"로 되겠네요.

  • 가을밤 ()

      "원이 되기 위해서는 어느 방향에서 보아도 같은 모양이어야 합니다."

    이건 "원이 되기 위해서는 중심을 기준으로 어느 방향으로 돌려 놓아도 같은 모양이어야 합니다." 또는 "구는 어느 방향에서 보아도 같은 모양이어야 합니다"라는 진술을 교과서 집필자가 잘못 이해 또는 표현한 결과인 것 같은데 대충 넘어가도 되는 것 아니냐는 태도를 취하는 분도 계시군요.

    틀린 건 틀린 겁니다.
    ('어느 방향' -> 'any direction' 이렇게 써놓으면 공감하려나..)

  • 문명인 ()

      수학전공자들도 논문에 이해를 돕기위해 informal한 비유를 집어넣어요.

    저 문제집의 언급도 그런 차원으로 보이고요.

    설마 저 문제집 쓴 사람도 고등학교는 졸업했을텐데 x^2 + y^2 = r^2 이라는 definition을 몰라서 안 쓰진 않았겠죠.

    "구는 어느 방향에서 보아도 같은 모양이어야 합니다"는 말도 수학적으로 틀린겁니다.

    애초에 '모양' '본다'는 개념 자체가 professional한 수학에는 없어요.

    그럼 일반인에게 이런 책잡히지 않게 교과서 쓰려면 옛날 부르바키 교과서 식으로 삽화 다 뺴고 완전히 formal한 식들로만 채우는수 밖에 없는데

    (컴퓨터 조판으로 출력된 도형 이런거 다 오류죠. 어차피 컴퓨터는 continuous한 그래프도 무조건 근사시켜서 discrete 하게 나타내기 때문)

    이렇게 할 경우 거의 대부분의 학생이 수학 의무교육과정을 pass하지 못할겁니다.

    게다가 이게 정말 수학을 '제대로' 가르치는건지도 확실치 않습니다.

    어차피 euclid 기하학을 포함한 초등적인 수학의 본질은 직관적인 경험의abstraction, generalization인데

    직관은 배제한체 "원은 동그란게 아니라 사실은 algebraic equation x^2 +y^2 = r^2 에 대응되는거야"라고 가르쳐 본들 의미가 없죠.

    아이들의 상상력을 2차원에 제한한다고 하셨는데 그걸 "3차원에서 보면 원도 다르게 보인다"고 쓴다고 수학적인 상상력이 길러지는게 아닙니다.

    오히려 "원은 어디에서 보아도 같은 모양"이라는 선생의 말을 듣고

    "어? 비스듬히 내려다 보면 모양이 다른데 왜 그렇게 말하셨지?"
    "왜 하필 원에 대해서만 그런 성질을 언급하신거지?"
    "아! 원은 그려진 종이를 요리조리 돌려도 모양이 똑같구나"
    "그런데 다른 도형에는 그런 성질이 없구나"

    하고 circle이 rotation변환에 불변이라는 성질을 갖는다는 사실을 역추리를 통해 깨닫는게 수학적인 상상력이고, 교육의 과정입니다.

  • 문명인 ()

      간단히 말해 누가 "페르마는 중국인이다"고 말하면 틀린거지만

    ("페르마" "중국인"과 같은 말의 용법은 분명하므로)

    "원은 어디에서 보건 둥근모양이다"같은 말은 수학적으로 false는 아닙니다.

    애초에 참거짓을 가릴수 있는 전형적인 formal한 수학 명제가 아니기때문이죠.

    수학에는 "(눈으로)본다' "모양이 어떻다"이런 개념 없습니다.

  • 반지원정대 ()

      문명인님/

    토론의 본질과는 상관없는 말씀을 하고 계신데, 토론에 참여한 누구도 초등학교 교과서의 원의 설명이 직관을 배제한 formal한 식들로 채워야한다고 주장하지 않았어요. 오히려 직관적으로 잘못된 설명을 하고 있다는 것을 문제제기한 것입니다.
    "원은 어디에서 보아도 같은 모양이다"라고 선생이 가르치면 초등학교 2학년 아이가 비스듬히 내려다보면서도 선생님이 말해준 것을 그대로 믿을 가능성이 더 높아요. 잘못된 지식을 교과서에 올려놓고는 역추리를 통해서 깨달아야 한다는 식으로 궤변을 풀어놓으면 어떡하라는건지 참 아리송합니다.

    "원은 어디에서 보건 둥근모양이다 같은 말은 수학적으로 false가 아니다"고 주장하시는데, 그럼 어떤 면에서 false가 되는지요? 본인 입으로 초등수학은 본질적으로 직관적인 경험으로 풀어내는 것이 중요하다고 말해놓고는, 이제는 "눈으로 본다" "모양이 어떻다"는 수학에는 개념이 없다고 말하면 자가당착이 됩니다. 도대체 기하학을 얘기하면서 눈으로 보고 모양을 살피는 게 수학적이 아니라고 말한다면 어떡하라는 건지 말입니다.

  • 빨간거미 ()

      원을 어디에서 보든 같은 모양이라는 설명은 좋지 않은 표현이라 생각합니다.
    2차원적으로 본다는 느낌을 주는 단어나 설명이 없는 상황에서
    2차원인 원을 1차원적에서 봤을 때 같은 모양이라고 표현하기 때문입니다.

    직관적인 것이 무척이나 중요합니다만,
    이번의 경우에는 편협하고 오해할만한 표현이라 생각됩니다.

  • 뭘 봐? ()

      요즘은 가르칠 때 콤파스 안 쓰나요?

  • matahari ()

      현 초등 교육과정에서는 원의 정의를 비형식적이고 직관적으로 정의내리고 있어요. '동그란 모양으로 된 구체물을 본 뜬 동그란 모양의 도형'이라고 합니다.
    타원과 원과의 차이를 두기 위해서는, 중심을 기준으로 접어보게 해서 완전히 겹쳐지는가 아닌가로 구별해요.
    저학년에서 처음 원의 정의를 배우게 되는데요.. 이때 아이들 발달단계에 따라 구체적인 조작물을 직접 그리고 오리고 겹쳐보는 등의 구체적 행위를 통해 배우거든요..저학년 아이들 수준에 맞게..

  • matahari ()

      학습자의 특성을 고려한 단계별 수학교육과정상, 2학년에서는 '모양'에 기초해서 원이란걸 먼저 배우고 난 후 고학년이 되어서야 원의 성질을 다루며 연역적 접근을 시도합니다. 2차원으로 제한하는 이유는, 후에 배울 3차원의 '구'라는 개념이 있기 때문이지요. 도형학습의 단계는 2차원->3차원으로 가기 때문입니다.

  • 반지원정대 ()

      아이들이 사는 세상은 3차원이고, 아이들의 눈으로 뭘 관찰한다는 것은 3차원의 시각이에요. 그런 시각으로 원의 개념을 설명한 것이기에 사고력을 2차원으로 제한한 것이 아닙니다. 그리고 어떤 의미에서는 3차원보다 2차원이 더 어려운 개념이에요. 아름다운 세계, 꿈의 세계, 옥황상제가 사는 세계가 바로 2차원이에요. 거기서 선녀가 내려와서 나뭇꾼과 지지고볶으면서 사는게 3차원이고요.

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