갑자기 생겨난 의문인데요. Navie-Stokes Equation

글쓴이
공돌이
등록일
2002-07-25 15:36
조회
10,932회
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댓글
4건
저어기 밑에 Navie-Stokes equation에 대한 글을 읽으면서 생각이
나서 질문합니다. 음 아무래도 욕 먹을 것 같은 예감.

 해가 존재하는지 않는지 조차 증명이 안되었다고 하는데.
 혹시 매스매티카로 검증하는 방법 없을까요? 음 이상한 정적분도
신기하게 풀어내는 것을 보면 저런 미분 방정식도 울프람씨가
푸는 방법을 집어넣었을 것 같아서 그럽니다. 하하.

 우선 나비에 스토크스 방정식 소개를 하겠습니다. 되도록 쉽게 할 테니까
잘 보세요.

 ∂u/∂t + (u·∇u)u = -∇p + (1/Re)Δu + f

          u ; 유속
          p ; 압력
          Re ; 레이놀즈 수
          f; 외력

 뉴턴역학의 운동의 제 2법칙을 나타낸 것으로 유체에 가해진 힘으로
유체가 어떻게 운동하느냐를 기술한 식입니다.
 
 유체가 관성에 의해 지금까지의 운동을 그대로 계속하려고 하는 힘
(관성력)과 압력의 분포가  공간적으로 균일하지 않고 변화가 있음으로
 인해서 생기는 힘. 거기에 유체가 지는 점성에 의해 운동을 균일화하게
 하려고 하는 힘(점성력), 그리고 이 이외에 가해지는 힘(외력)을 전부
고려해서 하나의 식으로 표시한 것이 바로 위 나비에 스토크스 방정식입니다.

 즉 좌변항{ ∂u/∂t + (u·∇u)u } 은 관성력을 표시한 것이고 그 중에서
(u·∇u)u은  비선형성을 나타낸 것입니다.
 우변항의 -∇p는 압력 구배에 의한 힘, (1/Re)Δu는 점성력,
 f는 외력을 나타낸 것입니다.

 어때요 쉽지요? 혹시 학부생중에 편미분, 라플라시안 연산자가 나와서
겁을 먹는 분도 계실 것으로 믿는데 (저의 경험에 미루어서.. 흑) 실제로
조건에 따라 식을 간단하게 한다음에 푸니 걱정 마세요. 그냥
F = ma 를 유체에 맞는 형식으로 표현한 것이니깐, 각항이 무엇을
가리키는 정도만 알고 있으면 됩니다.  제 주변에는 실제로 저 나비에
스토크스 방정식때문에 유체역학을 포기하는 사람의 수가 많다는 이야기도...

 음. 어쨌든 한번 재미있어 보이니깐 매스매티카의 도사가 계시면 한번
도전 부탁바랍니다.
  • .. ()

      연속방정식이 빠졌습니다. (∇·u=0)

  • 소요유 ()

      원리적으로 아주 간단한 운동방정식이라도 '모델'을 설정하지 않으면 '자연과학적인 해'가 없습니다.  위 방정식으로부터 단순하게 수학적 해를  구하는 것이 목적이 아닐테니까요.  일반적으로 편미분 방정식이 일반해 (general solution)를 갖는 경우는 극히 드믑니다. 

  • 소요유 ()

      분면한 것은 위 방정식의 일반해가 존재하지 않는다는 것입니다. 즉 위방정식으로 운동방정식이 표현될 수 있는 모든 유체의 운동을 설명해줄 수 있는  해는 존재하지 않습니다.  따라서 우리는 위 방정식으로 부터 우리가 알고자하는 유체역학계를 적당히 설정하여 (이를테면 관속에서 흐르는 유체, 혹은 유체속에 놓인 비행기 날개 주위의 유체 등등)  위 방정식의 해를 '상황에 맞게'  해석학적인 해 혹은  수치적인 해를 구하게됩니다. 

  • 소요유 ()

      그런데 대부분의 유체역학적인 계의 경우  상황을  간단히 설정 (간단한 모델) 하더라도 주어진 경계조건 (boundary condition)내에서 해석학적인 해를 구할 수 없는 경우가 대부분입니다. 따라서 이 경우에는 초기조건 (initial condition)과 경계조건에 따른 특수해 (special solution)을 구하게됩니다. 이때 사용되는 툴이 수치적분입니다. 즉 초기조건 하나에  특수해가 하나씩, 경우에 따라서는 여러개 (chaos) 대응되는 특수해를 구할 수 있습니다.



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