네이버 캐스트에 올라온 글입니다.

만델브로 집합의 그림을 산뜻하게 표현한게 글 마지막에 나옵니다. 그림을 보면 부분을 확대한 것을 따라가는데, 부분확대 그림에서 (8번째 그림) 원래 만델브로 집합과 비슷하게 생긴 것이 나옵니다. baby Mandelbrot set 이라고 하는 것입니다.

글 중간에 나오는 만델브로 집합의 경계차원에 관한 언급이 있는데요.

그 증명의 내용은 만델브로 집합의 경계의 Hausdorff dimension 이 2 라는 것으로, 일본 수학자인 Shishikura (교토대학 교수로 재직중인 해당 분야에서 유명한 수학자) 가 증명했습니다. 98년도 증명했다는 것은 저널에 출판된 연도를 기준으로 했을때 그렇다는 것입니다.

해당 글은 1차원 복소 dynamics의 기초적인 설명으로도 괜찮은 글이라 생각하여 소개합니다.

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한 가지 더, 복소 다항식(2차식을 포함)의 경우 내부와 줄리아 집합을 포함한 것을 filled Julia set 이라고 하는데, 이 집합은 복소 다항식의 repeller 에 해당합니다. 다른 말로 표현하자면, inverse function (실제로는 critical point 가 있어서 역함수가 부분적으로만 정의됩니다만, 그냥 multivalued function 이라고 때에 따라 편리하게 이야기 합니다. holomorphic function 에 해당하는 이야기 입니다) 의 attractor (끌개)에 해당이 됩니다.

많은 경우 attractor 는 2차원 이상의 집합에서 나타나는 함수나 vector field 에서 많이 다룹니다. complex dynamics 도 1차원 뿐만이 아니라 2차이상의 복소 공간에서도 정의할 수 있는데, 이 때도 비슷한 개념을 써서 Julia set을 정의합니다. 이 때는 Julia set 이 해당 함수의 repeller 는 아니고요. 다른 성질을 이용하여 정의를 합니다.