아마 물질파와 슈뢰딩거의 파동함수와의 관계를 좀더 이해하려면 드브로이의 물질파 라는 개념이 어떻게 나왔는 지에 대한 (역사적으로) 철학적 배경을 알아야 이해하기 쉽습니다. 19세기까지 서양과학의 자연에 대한 인식은 입자 아니면 파동이었습니다. 아니 둘 중의 하나여야 했습니다.

그런데 이런 '사고'에 '사고'를 친 놈이 빛이었습니다. 뉴톤은 빛을 입자로 생각했지만, 데카르트- 호이겐스, 맥스웰 등이 입자라기 보다는 파동으로 다루어야 한다는 것을 증명하게 됩니다. 그래서 17세기 이후에는 빛을 파동으로 다루게 되었습니다.

그런데 이런 사고에 문제가 발생한 것이 '파동이면 매질이이 있어야 한다 (에테르 논쟁 - 아래에 아지도 논쟁하죠?) 와 '흑체복사 문제'였습니다. 빛의 매질논쟁은 결국 로렌츠 - 마이켈슨 & 몰리 - 아인슈타인으로 이어지면서 20세기초에 상대론으로 발전하게됩니다.   
 
흑체복사 문제는 물체에 온도가 주어지면 온도에 따른 복사가 방출되는데 그 복사 형태가 빛을 파동으로 봐도 설명이 안되고 - 레일레이, 그렇다고 입자로 봐도 설명이 안- 빈 (Wien)-되었습니다. r이를 해결한 사람이 바로 프랑크였는데, 그는 전혀 다른 방식으로 접근하게 됩니다.  즉 양자라는 것- 즉 입자를 도입하여 파동을 설명하게 됩니다.  즉 입자의 파동성을 본 거죠. 여기서 20세기 양자역학이 출발합니다.

당시 서양적 과학인식론으로는 이게 설명이 안되는 것이었습니다. 즉 세상은  입자 아니면 파동이어야지 입자 & 파동이런 자연은 '이상하다'라고 생각했습니다.  그래서 당시 과학계에서 상당히 논란이 되었던 모양입니다. 빛이 월수금은 파동 화목토는 입자로 하자 뭐 이랬다나요 ?

그런데 1905년 아인슈타인이 광전효과 실험을 발표하게됩니다.  즉 빛에서 파동의 입자성 보게됩니다.  여기가지 해서 빛을 예외적인 것으로 하자는 것이  당시 서양과학의 '합리적이고 과학적인' 결론이었습니다. 

여기에 또 사고를 치게된 것이 전자의 파동성 발견 (누구더라 ?) 이었습니다. 이 것은 빛이외에 양성을 갖는 첫번재 물질의 발견입니다. 그래서 자연은 파동도 되고 입자도 된다고 생각하기 시작했습니다.

현대 과학적 시각은 자연은 원래 '자연' 인데 인간이 보는 방향에 따라서 입자 혹은 파동으로 나타난다는 것이 현재의 인식론으로 하이제베르그의 '자기합리화'에 기반을 둡니다. 즉 '인간은 질문방법에 따라 노출된 자연을 본다 (하이젠베르그 - 부분과 전체). 

어째든지 여기에 생긴 현실적인 문제는  입자와 파동을 어떻게 연결하느냐의 문제인데 프랑스의 드브로이가 먼저 선수를 칩니다. 즉 운동량과 물질파의 파장을 연결하여 입자를 파동으로 (전환) 설명하게 됩니다. 즉 파동의 파장과 운동량이 반비례한다는 것을 발견하게 됩니다.

드브로이가 어영부영하는 사이  덴마아크이 슈뢰딩어와 독일의 하이제베르그는 어떻게 입자와 파동을 고전역학에 기반하거나 (슈뢰딩거), 아니면 새로운 수학적 툴로 (하이젠베르그) 수학적으로 연결할 것이가를 고민하게 됩니다. 여기서 아래 제가 소개했던 '프리에 변환'이 적용됩니다.

즉, 파동에서 입자로 '수학적으로 만드는 방법'이  빛 (평면파-파동)이 렌즈를 통과하여  상 (점-입자)을 만드는 방법과 같습니다. 이게 프리에 변환이지요. 즉 평면파 (e^-ipt)가 point (상수)가 되는 프리에 변환입니다.     

마찬가지로 전자와 그 물질파와의 관계는 프리에 변환 관계에 있게 됩니다. 여기서 속도, 위치, 운동량 과 같은 물리량이라는 것이 수학적으로 우리가 프리에 공간에서 나타난 기대값으로 정의 할수 있게됩니다. 즉 어떤 오퍼레이터들의 기대값이  물리량이 되는 것이고 수학적 변환을 나타내는 오퍼레이터라는 의미는  바로 '자연에 대한 인간의 질문 방법 = 실험' 이 됩니다.

따라서 이제 어떤 자연상태는 입자다 파동이다 구별할 필요 없이  다만 그 상태를 나타내는 수학적인 '파동함수 (혹은 상태)'에 우리가 수학적 오퍼레이터- 즉 실험을 하면 우리에개 나타난다고 이해합니다. 

다시 말하면 물질파라는 개념은 엄격히 말하면 free particles의 수학적인 파동함수로 이해할 수 있습니다. 그러므로 파동함수라고 하면 이 모두를 포함한 좀더 복잡한 계의 파동적 특성을 나타내는 수학적 표현이다라고 말할 수 있습니다.

슈뢰딩거가 왜 슈뢰딩거 방정식을 도입했나를 이해하려면 고전역학에서 고급수학을 이해해야 합니다 .  즉 라그랑지안 이후에 나오는 헤르미션 오퍼레이터를 이해해야 합니다. 이게 양자역하에서 그대로 쓰입니다.  한편으로 하이제베르그가 행렬역학을 도입하게 되는데 이는 수소원자의 에너지 천이를 설명하게되어 수학적으로 슈뢰딩거의 경우가 하이젠베르그 보다 좀더 해석학적인 표현이됩니다.

이후에 양자역학은 코펜하겐 학파의 보어 그룹과 슈뢰딩거, 하이젠베르그,  파울리등에 의하여 불과 20년 만에 새로운 파라다임을 형성하게 됩니다.