괴델의 불완전성 정리
- 글쓴이
- 남영우
- 등록일
- 2010-12-07 01:10
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현대수학의 시초를 보통 칸토르의 집합론부터 이야기합니다. 그다음에 나오는 수학기초에 관한 철학적 논의에서 나오는게 러셀의 역설, 그리고 힐베르트의 계획이 나오는데요.
"수학의 무모순성이 그 체계 내에서 증명된다."
라는 야심찬 주장이었습니다. 괴델이 증명한 것은 "그건 논리적으로 불가능하다."는 수리논리학의 결과였습니다.
"참이지만 증명 불가능한 명제가 존재한다." 라는 말로 요약되는 괴델의 정리는 수학의 공리체계가 유한한 갯수의 공리로는 논리적 참인 수학적 명제를 결코 다 발견할 수 없음을 이야기 해주었습니다.
여기서 파생된 증명중 유명한 것이 칸토르가 제안한 "(일반)연속체가설" 이 이전의 집합론의 공리를 써서
반증불가능하다는 것 (괴델)과
증명불가능하다는 것 (코헨)을 보인 것입니다. 한마디로 연속체 가설을 참인 것 또는 거짓인 것을 추가 공리로 포함한 체계가 둘 다 성립한다는 것을 보여줍니다.
좀 더 고전적인 예로는 평행선 공리에 따른 기하학 분류 (유클리드, 쌍곡, 구면 기하학) 가 가능한 것을 들 수도 있습니다.
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인용글 중간에 나오는 러셀의 역설은 아주 유명합니다.
재미있는 것은 동시대의 논리학자인 프레게의 작업을 그 러셀의 역설이 깨트렸다는 것입니다.
http://navercast.naver.com/contents.nhn?contents_id=4185&category_type=series
(같은 네이버 글이네요)
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괴델의 언급뒤에 나오는 튜링의 이야기는 이른바
computability 의 개념이 초기에 어떠한 형태로 나오게 되었는가를 간략하게 보여줍니다. 지금도 Turing machine 이라는 용어를 논리학에서 씁니다.
물론, algorithm 이나 computability 의 개념은 튜링 이후에 이론적으로 새로운 이해가 있게 됩니다.
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현대수학의 시초를 보통 칸토르의 집합론부터 이야기합니다. 그다음에 나오는 수학기초에 관한 철학적 논의에서 나오는게 러셀의 역설, 그리고 힐베르트의 계획이 나오는데요.
"수학의 무모순성이 그 체계 내에서 증명된다."
라는 야심찬 주장이었습니다. 괴델이 증명한 것은 "그건 논리적으로 불가능하다."는 수리논리학의 결과였습니다.
"참이지만 증명 불가능한 명제가 존재한다." 라는 말로 요약되는 괴델의 정리는 수학의 공리체계가 유한한 갯수의 공리로는 논리적 참인 수학적 명제를 결코 다 발견할 수 없음을 이야기 해주었습니다.
여기서 파생된 증명중 유명한 것이 칸토르가 제안한 "(일반)연속체가설" 이 이전의 집합론의 공리를 써서
반증불가능하다는 것 (괴델)과
증명불가능하다는 것 (코헨)을 보인 것입니다. 한마디로 연속체 가설을 참인 것 또는 거짓인 것을 추가 공리로 포함한 체계가 둘 다 성립한다는 것을 보여줍니다.
좀 더 고전적인 예로는 평행선 공리에 따른 기하학 분류 (유클리드, 쌍곡, 구면 기하학) 가 가능한 것을 들 수도 있습니다.
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인용글 중간에 나오는 러셀의 역설은 아주 유명합니다.
재미있는 것은 동시대의 논리학자인 프레게의 작업을 그 러셀의 역설이 깨트렸다는 것입니다.
http://navercast.naver.com/contents.nhn?contents_id=4185&category_type=series
(같은 네이버 글이네요)
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괴델의 언급뒤에 나오는 튜링의 이야기는 이른바
computability 의 개념이 초기에 어떠한 형태로 나오게 되었는가를 간략하게 보여줍니다. 지금도 Turing machine 이라는 용어를 논리학에서 씁니다.
물론, algorithm 이나 computability 의 개념은 튜링 이후에 이론적으로 새로운 이해가 있게 됩니다.
다른 사람들 의견
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한반도
()
저도 수학공부한 사람이지만,,,
이러저러한 내용들중 모르고 살아온게 때로는 부끄럽기도 하고,
이제서야 알았기에 때로는 다행이기도 하네요. 좋은 내용 감사드립니다.
